Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tập giá trị \({\rm{T}}\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{x}\) với \(x \in \left[ {1;{e^2}} \right].\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;{e^2}} \right]\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0\) \( \Leftrightarrow x = e \in \left[ {1;{e^2}} \right]\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( e \right) = \dfrac{1}{e}\\f\left( {{e^2}} \right) = \dfrac{2}{{{e^2}}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;{e^2}} \right]} f\left( x \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;{e^2}} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{e}\) \( \Rightarrow {\rm{T}} = \left[ {0;\dfrac{1}{e}} \right]\)
Hướng dẫn giải:
- Tính \(f'\left( x \right)\) và giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;{e^2}} \right]\)
- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( {{e^2}} \right)\) và \(f\left( {{x_i}} \right)\).
- So sánh các kết quả tìm \(\max ,\min f\left( x \right)\) suy ra tập giá trị.
