Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = \sin x - {\cos ^2}x\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
Trả lời bởi giáo viên
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có \(y = \sin x - {\cos ^2}x\)
$y' = \left( {\sin x - {{\cos }^2}x} \right)' $ $= \left( {\sin x} \right)' - \left( {{{\cos }^2}x} \right)' $ $= \cos x - 2\cos x\left( {\cos x} \right)' $ $= \cos x - 2\cos x\left( { - \sin x} \right) $ $= \cos x + 2\sin x\cos x$
Suy ra \(y' = 0 \) $ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + 2\sin x} \right) = 0$ \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
Mà \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2};x = \dfrac{{3\pi }}{2};x = \dfrac{{7\pi }}{6};x = \dfrac{{11\pi }}{6}\)
Có \(y' = \cos x + \sin 2x \Rightarrow y'' = - \sin x + 2\cos 2x\).
\(y''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1 + 2\cos \pi = - 3 < 0\) nên \(x = \dfrac{\pi }{2}\) là điểm CĐ.
\(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = - \sin \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\cos 3\pi = 1 - 2 = - 1 < 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{2}\) là điểm CĐ.
\(y''\left( {\dfrac{{7\pi }}{6}} \right) = - \sin \dfrac{{7\pi }}{6} + 2\cos \dfrac{{7\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} > 0\) nên \(x = \dfrac{{7\pi }}{6}\) là điểm CT.
\(y''\left( {\dfrac{{11\pi }}{6}} \right) = - \sin \dfrac{{11\pi }}{6} + 2\cos \dfrac{{11\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} > 0\) nên \(x = \dfrac{{11\pi }}{6}\) là điểm CT.
Vậy hàm số đã cho có \(4\) điểm cực trị.
Hướng dẫn giải:
TXĐ
Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\)
Lập BBT rồi kết luận