Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm m để phương trình ${\rm{cos}}2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0$ có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1:
${\rm{cos}}2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) $
$\Leftrightarrow 2\cos^2 x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m = 0 $
Đặt $\cos x=t$
Phương trình trên trở thành:
$2t^2-(2m-1)t-m=0$
$(2t^2-2mt)+(t-m)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t= - \dfrac{1}{2}\\t = m\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \dfrac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right..$
Bước 2:
Vì \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nên $0 \le \cos x \le 1$.
Do đó $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ (loại).
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) khi và chỉ khi \(0 \le \cos x < 1 \)
\(\Leftrightarrow 0 \le m < 1\).
(Nếu $\cos x=1$ thì có đúng 1 nghiệm $x=0$ $=>\cos x < 1 $)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Giải phương trình đã cho tìm \(\cos x\).
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
Giải thích thêm:
Cách giải phương trình tìm cos x như sau:
$\begin{array}{l}
\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( { - m} \right)\\
= 4{m^2} - 4m + 1 + 8m\\
= 4{m^2} + 4m + 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2}\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \dfrac{{2m - 1 + 2m + 1}}{{2.2}} = m\\
\cos x = \dfrac{{2m - 1 - 2m - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Cách 2:
$\begin{array}{l}
2{\cos ^2}x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 2m\cos x + \cos x - m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}x + \cos x} \right) - \left( {2m\cos x + m} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2\cos x + 1} \right) - m\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\cos x - m} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = m\\
\cos x = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
