Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\)
Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m\). + Đế ý rằng với \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\). + Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\). Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\). Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải:
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\).