Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm \(m\) để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 - m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - m \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le m\)
Do \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên để bpt trên có nghiệm thì \(m \ge 0\).
Khi đó \( - \sqrt m \le x - 1 \le \sqrt m \) \( \Leftrightarrow 1 - \sqrt m \le x \le 1 + \sqrt m \)
Tập nghiệm của \(\left( 1 \right)\) là \({S_1} = \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right]\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - x + {m^2} + m \le 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right) - \left( {x - m} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} - \left( {x - m} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow m \le x \le m + 1\)
Tập nghiệm của \(\left( 2 \right)\) là \({S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]\)
Để hệ đã cho có nghiệm thì \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\( \Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right] \cap \left[ {m;m + 1} \right] \ne \emptyset \,\,\left( * \right)\)
Cách 1:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt m \\1 - \sqrt m \le m + 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le \sqrt m \,\,\left( 3 \right)\\m + \sqrt m \ge 0\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\{m^2} - 2m + 1 \le m\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\{m^2} - 3m + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\1 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)
\(\left( 4 \right)\) luôn đúng vì \(m \ge 0\) nên \(m + \sqrt m \ge 0\).
Vậy \(0 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện để hệ có nghiệm là tập nghiệm của mỗi bất phương trình giao nhau khác rỗng
Giải thích thêm:
Cách 2:
Ta tìm \(m\) để \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) hay \(\left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right] \cap \left[ {m;m + 1} \right] = \emptyset \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \sqrt m < m\\m + 1 < 1 - \sqrt m \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt m < m - 1\,\left( 3 \right)\\m + \sqrt m < 0\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 4 \right)\) không xảy ra vì \(m \ge 0\) nên \(m + \sqrt m \ge 0,\forall m \ge 0\).
\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m < {m^2} - 2m + 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\{m^2} - 3m + 1 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)
Do đó để \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) thì \(\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\m < 0\end{array} \right.\).
Vậy để \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \) thì \(0 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).
