Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\):
Trả lời bởi giáo viên
\(y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 \)\(= 3\sin x + 4\cos x\)
\({\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\)
Ta coi \(a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x\)
Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:
\({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}\)\( \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1\)
\( \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5\)
\( \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6\)
Vậy \(\max y = 6;\min y = - 4\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)