Tất cả giá trị tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2}\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt là
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị và trục hoành: \({x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2} = 0\) \(\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {x^2}\), \(t \ge 0\). Khi đó, phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({t^2} - \left( {3m + 4} \right)t + {m^2} = 0\) \(\left( 2 \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\)
⇔\(\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} + 24m + 16 > 0\\{m^2} > 0\\3m + 4 > 0\end{array} \right.\)
⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m < - 4\,\, \vee \,\,m > - \dfrac{4}{5}\\m \ne 0\\m > - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt.
- Giải điều kiện trên tìm $m$.