Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left(  *  \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left(  *  \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.

Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Ta có \(x = \sqrt 2 \) và \(x = \sqrt 3 \) là các nghiệm của \(\left( * \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c =  - 4\\3b + c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 5\\c = 6\end{array} \right..\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b =  - 5\end{array} \right.\) vào \(\left(  *  \right)\): \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy với \(b =  - 5;\,\,c = 6\) ta được phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)