Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng k câu hỏi của học sinh Á đạt giá trị lớn nhất, khi đó giá trị k bằng

Gọi A là biến cố: “Học sinh A làm đúng k câu”

Xác suất làm đúng 1 câu là \(\dfrac{1}{4}\), xác suất làm sai 1 câu là \(\dfrac{3}{4}\).

\( \Rightarrow {P_k}\left( A \right) = C_{50}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50 - k}} = \dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \in \left[ {0;50} \right]} \right)\).

Để \({P_k}\left( A \right)\) lớn nhất thì \(\left\{ \begin{array}{l}{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k + 1}}\left( A \right)\\{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k - 1}}\left( A \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k + 1}}}{{{3^{k + 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\\\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k - 1}}}{{{3^{k - 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {49 - k} \right)!}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{{50!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {51 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{50 - k}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{k} \ge \dfrac{1}{{51 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k + 3 \ge 50 - k\\51 - k \ge 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{47}}{4} \le k \le \dfrac{{51}}{4} \Leftrightarrow k = 12\,\left( {tm} \right)\end{array}\)