Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 2}}\) trên \(\left[ {3;2 + 2\sqrt 2 } \right]\). Tính \(M - m\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có : \(y' = \dfrac{{{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \in \left[ {3;2 + 2\sqrt 2 } \right]\\x = 2 - \sqrt 2 \notin \left[ {3;2 + 2\sqrt 2 } \right]\end{array} \right.\)
\(y\left( 3 \right) = 5,y\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 2 + 2\sqrt 2 ,y\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) = \dfrac{{4 + 5\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(M = \dfrac{{4 + 5\sqrt 2 }}{2},m = 2 + 2\sqrt 2 \Rightarrow M - m = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
- Tính đạo hàm \(y'\).
- Tìm nghiệm \({x_i}\) của phương trình \(y' = 0\).
- Tính giá trị của hàm số tại hai điểm đàu mút và các điểm \({x_i}\) ở trên.
- So sánh kết quả và kết luận.