Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right).\sin 3x = 2\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right).\sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {4x + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) =- 2\end{array}\)
Do \( - 1 \le \cos \left( {4x + \dfrac{\pi }{3}} \right),\,\,\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le 1\) nên
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {4x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = -1\\\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + \dfrac{\pi }{3} = \pi +k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = \dfrac{2\pi }{3} + k2\pi \\2x = \dfrac{{\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{6}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{{\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \\\Rightarrow x =\dfrac{{\pi }}{6} + k\pi \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là \(x =\dfrac{{\pi }}{6} + k\pi\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng biến đổi:\(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
