Giả sử \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^x}\). Tính tích \(P = abc\).

Bước 1:

Vì \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\\F'\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c + 2ax + b} \right){e^x}\\F'\left( x \right) = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x}\\=x^2.e^x\end{array}\)

Bước 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} =  {1.{x^2} + 0.x + 0}\\\left[ {a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x} = {x^2}.{e^x}\\ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = {x^2}\\ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = 1.{x^2} + 0.x + 0\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(P = abc = 1.\left( { - 2} \right).2 =  - 4.\)