Đường thẳng $d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1,\;\;\left( {a \ne 0;\;b \ne 0} \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 1;6} \right)$ tạo với các tia $Ox,\;Oy$ một tam giác có diện tích bằng $4$. Tính $S = a + 2b$.

Đường thẳng $d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ đi qua điểm $M\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1.$   $\left( 1 \right)$

Ta có $d \cap Ox = A\left( {a;0} \right)$; $d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)$.

Suy ra $OA = \left| a \right| = a$ và $OB = \left| b \right| = b$ (do $A,{\rm{ }}B$ thuộc hai tia $Ox$, $Oy$).

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Do đó, ta có ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{2}ab = 4.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\\dfrac{1}{2}ab = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - ab = 0\\ab = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - 8 = 0\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\a\left( {6a - 8} \right) - 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Do $A$ thuộc tia $Ox \Rightarrow a = 2$. Khi đó, $b = 6a - 8 = 4$. Suy ra $a + 2b = 10.$