Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1,\;\;\left( {a \ne 0;\;b \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\) tạo với các tia \(Ox,\;Oy\) một tam giác có diện tích bằng \(4\). Tính \(S = a + 2b\).

Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1.\)   \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( {a;0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| a \right| = a\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\). Do đó, ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{2}ab = 4.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\\dfrac{1}{2}ab = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - ab = 0\\ab = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - 8 = 0\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\a\left( {6a - 8} \right) - 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do \(A\) thuộc tia \(Ox \Rightarrow a = 2\). Khi đó, \(b = 6a - 8 = 4\). Suy ra \(a + 2b = 10.\)