Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}$ bằng:

${x^2} + {y^2} = 2(y > 0) \Leftrightarrow y = \sqrt {2 - {x^2}} $

+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:

$\sqrt {2 - {x^2}}  = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} =  - 2(L)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow x =  \pm 1$

+ Với \( - 1 \le x \le 1\) thì

\(\begin{array}{l} {x^2} \le 1 \Rightarrow {x^4} \le 1\\ \Rightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) \le 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \le {x^4} \le 2 - {x^2}\\ \Rightarrow {x^2} \le \sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)

\( \Rightarrow {x^2} - \sqrt {2-{x^2}}  \le 0 \Rightarrow \left| {\sqrt {2 - {x^2}}  - {x^2}} \right| = \sqrt {2 - {x^2}}  - {x^2}\)

+ Diện tích hình phẳng là:

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\sqrt {2 - {x^2}}  - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}}  - {x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx}  - \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} $

+ Với ${I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {2 - {x^2}} dx} $

Đặt $x = \sqrt 2 \sin u \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos udu$

Khi  $ x = -1 \Rightarrow u =  - \dfrac{\pi }{4}$

      $ x = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}$

Do đó ${I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {2 - 2{{\sin }^2}u} .\sqrt 2 \cos udu}  = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {2{{\cos }^2}udu} $$ = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2u)du} $

$ = \left. u \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} + \left. {\dfrac{1}{2}\sin 2u} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{1}{2}\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2} + 1$

+ Với ${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx}  = \dfrac{1}{3}\left. {{x^3}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

$ \Rightarrow S = {I_1} - {I_2} = \dfrac{\pi }{2} + 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{3}$