Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}}x + \sqrt k  + 3 \, (k \ge 0)$ luôn đi qua là:

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k  + 1}}{{\sqrt 3  - 1}}{x_0} + \sqrt k  + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k}  - \sqrt k  - \sqrt 3  + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3  - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3  + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3  - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$

$ \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3  - 1} \right)$là điểm cố định mà d luôn đi qua.