Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1;4;2)\) bán kính bằng 2. Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox,Oy$ sao cho đường thẳng $M N$ tiếp xúc với \((S)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng \(\dfrac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của $M N$ và \((S)\), giá trị $AM.AN$ bằng

\(A\) cũng là tiếp điểm của $M N$ và \((S)\) nên IA vuông góc với MN =>IA=2

Do mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1;4;2)\) bán kính \(R = 2\) nên ta có \(d(I,Oxy) = 2 = R\).

=>$ IA=$\(d(I,Oxy)\)

=> IA vuông góc với (Oxy)

Vì vậy \((S)\) tiếp xúc với mặt phẳng $(O x y)$ tại \(A(1;4;0)\).

Giả sử \(M(a;0;0),N(0;b;0)\)

Do $M, N, A$ thẳng hàng nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1\).

Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ là \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{a}{2}}\\{y = \dfrac{b}{2}}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ bằng \(\dfrac{7}{2}\) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1}\\{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + {t^2} = \dfrac{{49}}{4}}\\{{{\left( {\dfrac{a}{2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{2} - 4} \right)}^2} + {{(t - 2)}^2} = \dfrac{{49}}{4}}\end{array}} \right.\)

Rút \(b\) theo \(a\) từ \((1)\); trừ hai vế của \((2),(3)\), rút \(t\) theo \(a\), thay vào \((2)\) ta được:

\(\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{4{a^2}}}{{{{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{16}}{\left( {21 - a - \dfrac{{16a}}{{a - 1}}} \right)^2} = \dfrac{{49}}{4}\)

Giải phương trình tìm được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 - 2\sqrt 2 }\\{a = 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 - 2\sqrt 2  \Rightarrow b = 4 - \sqrt 2 }\\{a = 1 + 2\sqrt 2  \Rightarrow b = 4 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow AM \cdot AN = 6\sqrt 2 \).