Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} - m{x^2} - 64x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị?

Xét \(f(x) = {x^4} - m{x^2} - 64x\).

Ta có \({f^\prime }(x) = 4{x^3} - 2mx - 64 = 0 \Rightarrow m \)\(= 2{x^2} - \dfrac{{32}}{x}\).

Đặt \(g(x) = 2{x^2} - \dfrac{{32}}{x} \Rightarrow {g^\prime }(x) = 4x + \dfrac{{32}}{{{x^2}}}\) \( \Rightarrow {g^\prime }(x) = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 2\).

Xét phương trình \(f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - m{x^2} - 64x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^3} - mx - 64 = 0}\end{array}} \right.\).

Xét \({x^3} - mx - 64 = 0 \Rightarrow m = {x^2} - \dfrac{{64}}{x}\).

Đặt \(h(x) = {x^2} - \dfrac{{64}}{x} \Rightarrow {h^\prime }(x) = 2x + \dfrac{{64}}{{{x^2}}}\) \( \Rightarrow {h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x =  - \sqrt[3]{{32}}\).

Ta có số điểm cực trị của hàm số \(y = |f(x)|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) và số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f(x) = 0\).

Suy ra yêu cầu bài toán trở thành hàm số \(y = f(x)\) có 1 điểm cực trị và phương trình \(f(x) = 0\) có 2 nghiệm bội lẻ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 24}\\{m \le h( - \sqrt[3]{{32}}) \approx 30,23}\end{array} \Rightarrow m \le 24} \right.\).

Vì \(m\) nguyên dương nên có 24 giá trị thỏa yêu cầu bài toán.