Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z + 3 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình:

Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(I.\)

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( { - 1 + t;t;1 + 2t} \right)\). Mà \(I \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow 2\left( { - 1 + t} \right) + t - \left( {1 + 2t} \right) + 3 = 0 \Rightarrow  - 2 + 2t + t - 1 - 2t + 3 = 0 \Rightarrow t = 0\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;0;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {1;2;5} \right) \in d\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right) \Rightarrow H\left( {1 + 2t;2 + t;5 - t} \right)\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 + t - \left( {5 - t} \right) + 3 = 0 \Rightarrow 6t =  - 2 \Rightarrow t =  - \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{{16}}{3}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và nhận \(3\overrightarrow {IH} \) làm vtcp: \(\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{13}}\)