Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{12x}}\)

Ta có: \({27^{3{x^2} + xy - 12x}} = xy + 1\)

ĐK: \(xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}\) khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)\( \Rightarrow y >  - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\).

Xét \({27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 = 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 11}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 4 \right) = {27^{4y}} - 4y - 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy \(f\left( 4 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}\). Dấu bằng xảy ra khi \(y = 0\).

Xét \(y = 0\) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\) loại vì \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*\)

Ta table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) ta rút ra được \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 4 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}\)

Có \(14\) giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 13\) thì phương trình vô nghiệm.

\(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 12} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 13\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {12} \right) = {27^{3{x^2}}} - 12x - 1 = h\left( x \right)\)

Ta có: \(h'\left( x \right) = 6x{.27^{3{x^2}}}.\ln 27 - 12 > 0\,\forall \,x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

\( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) =  - 2 < 0\)

Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Vậy có \(14\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn.