Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left( {{{\log }_2}\left( {x + 30} \right) - 5} \right) \le 0\)?

Điều kiện xác định: \(x >  - 30\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {9^x}\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 30 \ge {2^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x = 2\) (tmđk)

Nên có \(1\) giá trị \(x\) thỏa mãn.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {9^x}\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x + 30 \le {2^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)

Kết hợp với ĐK: \(x >  - 30\) ta được \(x = \left\{ { - 29;....; - 1;0} \right\}\) nên có \(30\) giá trị \(x\) thỏa mãn.

Vậy có \(30 + 1 = 31\) giá trị \(x\) thỏa mãn.