Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 9} \right)\left( {{x^2} - 16} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right)\) có ít nhất \(3\) điểm cực trị?

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right) = \left| {{x^3} + 7x} \right|\)

Xét \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right)\). Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 7x} \right|} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right) = \left( {h\left( x \right)} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ BBT của \(h\left( x \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = 0\) chỉ chứa \(1\) nghiệm \(x = 0\) là điểm cực trị của \(h\left( x \right).\)

Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(x = 0\) là nghiệm bội lẻ.

\(f'\left( x \right) = \left( {x - 9} \right)\left( {{x^2} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 7x} \right| + m = 9\\\left| {{x^3} + 7x} \right| + m =  - 4\\\left| {{x^3} + 7x} \right| + m = 4\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên: 

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có ít nhất \(3\) điểm cực trị thì ít nhất \(1\) trong \(3\) đường thẳng \(y = 9,\,y = 4,\,y =  - 4\) phải cắt \(\left( {\left| {{x^3} + 7x} \right| + m} \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt (\(2\) nghiệm bội lẻ khác \(0\)).

\( \Leftrightarrow m < 9\). Có tất cả \(8\) giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn.