Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2\).
Trả lời bởi giáo viên
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m\) trên \(\left[ {1;3} \right]\), có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x = 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 > 0\\m < 0\end{array} \right.\)
TH1: \(m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow m - 4 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 6\)
Mà \(m \in \left[ { - 5;5} \right] \Rightarrow m \in \emptyset \)
TH2: \(m < 0\)
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\)
Mà \(m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\): 4 giá trị.
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m\) trên \(\left[ {1;3} \right]\), lập BBT từ đó xét các trường hợp.
Giải thích thêm:
Giải thích chi tiết chỗ \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 > 0\\m < 0\end{array} \right.\)
+) Nếu \(m-4 \le 0 < m-2\) thì đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) có dáng như hình dưới. Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| =0 \) nên không thỏa mãn.
+) Nếu \(m-2 < 0 \le m\) thì đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) có dáng như hình dưới. Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| =0 \) nên không thỏa mãn.