Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[ { - 5;5} \right]$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2$.

$6$

$4$

$3$

$5$

Xem đáp án

53 lượt xem

Đề thi thử THPTQG môn Toán THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định lần 1 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m$ trên $\left[ {1;3} \right]$, có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Lời giải - Đề thi thử THPTQG môn Toán THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định lần 1 - ảnh 1

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 > 0\\m < 0\end{array} \right.$

TH1: $m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow m - 4 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 6$

Mà $m \in \left[ { - 5;5} \right] \Rightarrow m \in \emptyset $

TH2: $m < 0$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2$

Mà $m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}$: 4 giá trị.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m$ trên $\left[ {1;3} \right]$, lập BBT từ đó xét các trường hợp.

Giải thích thêm:

Giải thích chi tiết chỗ $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 > 0\\m < 0\end{array} \right.$

+) Nếu $m-4 \le 0 < m-2$ thì đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có dáng như hình dưới. Khi đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| =0 $ nên không thỏa mãn.

+) Nếu $m-2 < 0 \le m$ thì đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có dáng như hình dưới. Khi đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| =0 $ nên không thỏa mãn.