Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất 8 số nguyên \(b \in ( - 10;10)\) thỏa mãn \({5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} \le {3^{b + a}} + 598\) ?

Ta có \({5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} \le {3^{b + a}} + 598\) \( \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} - {3^{b + a}} - 598 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 3a - 3}} - \dfrac{{{3^{b + a}}}}{{{5^{b + a}}}} - \dfrac{{598}}{{{5^{b + a}}}} \le 0\) \( \Leftrightarrow  - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598 \cdot {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{b + a}} + {5^{{a^2} - 3a - 3}} \le 0\)

Xét hàm số \(f\left( b \right) =  - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598 \cdot {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{b + a}} + {5^{{a^2} - 3a - 3}}\) \(,b \in ( - 10;10)\).

Suy ra \({f^\prime }\left( b \right) =  - \ln \left( {\dfrac{3}{5}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{b + a}} - 598\ln \left( {\dfrac{1}{5}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{b + a}} > 0\). Do đó $f(b)$ đồng biến.

Để \(f\left( b \right) \le 0\) có ít nhất 8 giá trị nguyên thỏa mãn thì

\(f( - 2) \le 0 \Leftrightarrow {5^{{a^2} - 2a - 3 - 2}} \le {3^{ - 2 + a}} + 598\)

Sử dụng chức năng Table để tìm $a$ kết hợp \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \{  - 2; - 1;0;1;2;3;4\} \).

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(a\).