Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Để đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình \(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m.1 - \left( {m - 1} \right).1 + m + 1 \ne 0\\\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m - m + 1 + m + 1 \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 - 4{m^2} - 4m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 2\\ - 3{m^2} - 6m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 2\\\dfrac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m =  - 1\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.