Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình:\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) +  2m -1= 0\) có đúng $3$ nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;0} \right].\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {4m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {2m-1} \right) = {\left( {4m - 3} \right)^2}\)

\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 2m -1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{         }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{  }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.\)

Do đó $(1)$ chỉ có $1$ nghiệm thuộc $[-3;0]$.

Để phương trình đã cho có $3$ nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\) và hai nghiệm này phải khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m\). 

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$ và thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m > 0\\{\left( {\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} + 1} \right)^2} \ne 2m\\ - 3 \le  - 1 + \sqrt {2m}  \le 0\\ - 3 \le  - 1 - \sqrt {2m}  \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne \dfrac{3}{4}\\m \le \dfrac{1}{2}\\m \le 2\end{array} \right.$

Không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn.