Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2022\), \(y \ge 2\) và \({x^2} + x - xy = x{\log _2}\left( {xy - x} \right) - {2^x}\)?

Từ điều kiện \(0 \le x \le 2022\), \(y \ge 2\), ta được \(xy - x = x\left( {y - 1} \right) \ge 0.\)

Kết hợp điều kiện của \({\log _2}\left( {xy - x} \right)\), ta được. \(0 < x \le 2022\), \(y \ge 2\),

Đặt \(t = {\log _2}\left( {xy - x} \right)\). Khi đó ta được \({x^2} - {2^t} = xt - {2^x} \Leftrightarrow {2^x} + x.x = {2^t} + x.t\)(1)

Nếu \(x > t\) thì \({2^x} + x.x > {2^t} + x.t,\)với \(x > 0\), mâu thuẫn với (1).

Tương tự \(x < t\) cũng được kết quả mâu thuẫn với (1).

Từ đó: \(x = t \Leftrightarrow xy - x = {2^x} \Leftrightarrow y = 1 + \dfrac{{{2^x}}}{x}\).

Vì \(0 < x \le 2022\), \(x \in \mathbb{Z},\,y \in \mathbb{Z}\) nên \({2^x} \vdots x\) suy ra \(x \in \left\{ {{2^0},{2^1},{2^2},...,{2^{10}}} \right\}.\)

Ứng với mỗi giá trị của \(x\) ở trên thì \(y = 1 + \dfrac{{{2^x}}}{x}\) có duy nhất một giá trị tương ứng.

Vậy có \(11\) cặp số nguyên thỏa yêu cầu đề bài.