Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(x \le 2022\) và \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) + 2 \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3}\)?

\(3\left( {{9^y} + 2y} \right) + 2 \le x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} \)\(\Leftrightarrow {3.9^y} + 6y + 2 \le x + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 3\left( {2y + 1} \right) \)\(\le \left( {x + 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right)\) \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) có \(f'\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 3 > 0\), \(\forall t\) nên hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2y + 1} \right) \le f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right) \)\(\Leftrightarrow 2y + 1 \le {\log _3}\left( {x + 1} \right) \)\( \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} - 1 \le x\).

Vì \(x \le 2022\) nên \({3^{2y + 1}} - 1 \le 2022 \)\(\Leftrightarrow y \le \dfrac{{{{\log }_3}2023 - 1}}{2} \approx 2,96\).

Với giả thiết \(y\) nguyên dương suy ra \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(y = 1\) có \(26 \le x \le 2022\) suy ra có 1997 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Với \(y = 2\) có \(242 \le x \le 2022\) suy ra có 1781 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 3778 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài.