Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tứ diện đều $SABC.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB, M $ là một điểm di động trên đoạn $AI.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $SI, IC,$ biết $AM = x.$ Thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện $SABC $ có chu vi là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Trong $mp(ABC)$ kẻ $MF // IC$ \(\left( {F \in AC} \right)\), trong $mp(SAB)$ kẻ $ME // SI$ \(\left( {E \in SA} \right)\).
Do đó $mp(P)$ chính là $(MEF)$ và thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện đều $SABC$ là tam giác $MEF.$
Gọi $a$ là cạnh của tứ diện đều $SABC.$
Xét tam giác đều $ABC$ và tam giác $SAB$ là những tam giác đều cạnh $a$ nên \(CI = SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong $(ABC)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{ME}}{{SI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{ME}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow ME = x\sqrt 3 .\)
Trong $(SAB)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{MF}}{{CI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{MF}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow MF = x\sqrt 3 .\)
Ta lại có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AS}} \) \(\Rightarrow EF\) $// SC $ (Định lí Ta-let đảo)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{SC}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \dfrac{{EF}}{a} = \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} \Leftrightarrow EF = 2x\)
Vậy chu vi tam giác $MEF $ bằng $ME + MF + EF =$ \(x\sqrt 3 + x\sqrt 3 + 2x = 2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
Hướng dẫn giải:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Áp dụng định lí Ta-let đảo để chỉ ra các tỉ lệ bằng nhau.
- Công thức tính chu vi tam giác.
Câu hỏi khác
- Đề kiểm tra 15 phút chương 7: Quan hệ song song trong không gian - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 7: Quan hệ song song trong không gian - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 7: Quan hệ song song trong không gian - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 7: Quan hệ song song trong không gian - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 7: Quan hệ song song trong không gian - đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
