Câu hỏi:
2 năm trước

Cho tứ diện ABCDAB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c. Mặt phẳng (α) song song với AB  và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: d

Giả sử (α) cắt các cạnh AD,AC,CB,BD  theo thứ tự tại M,N,P,Q.

{CD//(α),CD(ACD)M(α)(ACD)(α)(ACD)=MN//CD(NAC)

Tương tự (α)(BCD)=PQ//CD(QBD).

Khi đó: (α)(ABD)=MQ//AB,(α)(ABC)=NP//AB.

Hình bình hành MNPQ  là thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α).

Theo định lí Ta-let ta có:

NPAB=CNCANP=acCN,MNCD=ANACMN=abAN.

Để MNPQ là hình thoi thì MN=NPCN=AN hay N  là trung điểm của AC . Từ đó suy ra M,P,Q lần lượt là trung điểm của AD,BC,BD .

Ta có:

{DN2=AD2+DC22AC24=b2+a22c24BN2=AB2+BC22AC24=b2+a22c24DN=BN

ΔNBD cân tại N . Lại có Q là trung điểm của BD nên NQBD.

Do đó ta có: NQ2=NB2BQ2=b2+a22c24c24=b2+a2c22

Tương tự ta tính được MP2=c2+a2b22.

Vậy SMNPQ=12MP.NQ=12b2+a2c22.c2+a2b22=14(b2+a2c2)(c2+a2b2) .

Hướng dẫn giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.

- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.

- Công thức tính diện tích hình thoi S=12d1d2, trong đó d1,d2 là độ dài hai đường chéo của hình thoi.

Câu hỏi khác