Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c. Mặt phẳng (α) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:
Trả lời bởi giáo viên

Giả sử (α) cắt các cạnh AD,AC,CB,BD theo thứ tự tại M,N,P,Q.
{CD//(α),CD⊂(ACD)M∈(α)∩(ACD)⇒(α)∩(ACD)=MN//CD(N∈AC)
Tương tự (α)∩(BCD)=PQ//CD(Q∈BD).
Khi đó: (α)∩(ABD)=MQ//AB,(α)∩(ABC)=NP//AB.
Hình bình hành MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α).
Theo định lí Ta-let ta có:
NPAB=CNCA⇒NP=acCN,MNCD=ANAC⇒MN=abAN.
Để MNPQ là hình thoi thì MN=NP⇒CN=AN hay N là trung điểm của AC . Từ đó suy ra M,P,Q lần lượt là trung điểm của AD,BC,BD .
Ta có:
{DN2=AD2+DC22−AC24=b2+a22−c24BN2=AB2+BC22−AC24=b2+a22−c24⇒DN=BN
⇒ΔNBD cân tại N . Lại có Q là trung điểm của BD nên NQ⊥BD.
Do đó ta có: NQ2=NB2−BQ2=b2+a22−c24−c24=b2+a2−c22
Tương tự ta tính được MP2=c2+a2−b22.
Vậy SMNPQ=12MP.NQ=12√b2+a2−c22.c2+a2−b22=14√(b2+a2−c2)(c2+a2−b2) .
Hướng dẫn giải:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.
- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.
- Công thức tính diện tích hình thoi S=12d1d2, trong đó d1,d2 là độ dài hai đường chéo của hình thoi.