Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?

TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số.

TH2: Có $9$  chữ số $5$ và $1$  chữ số $2$ .

Xếp $9$  chữ số $5$  thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$  chữ số$2$.

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\)  cách. Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có $7$ chữ số $5$  và $3$ chữ số $2$ .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\)  cách. Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\)  cách. Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có $5$ chữ số $5$  và $5$ chữ số $2$.

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\)  cách. Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.