Cho tam giác ABC có: $\widehat B + \widehat C = \widehat A$ và $\widehat C = 2\widehat B$. Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $D$. Tính $\widehat {ADC}$ và $\widehat {BDC}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $\Delta ABC$, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C + \widehat B + \widehat C = {180^o}$  (vì $\widehat B + \widehat C = \widehat A$)

$\Rightarrow 2\left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o}:2 = {90^o}$

Mặt khác $\widehat C = 2\widehat B\,\,(gt)$ nên $\widehat B + 2\widehat B = {90^o} \Rightarrow 3\widehat B = {90^o} \Rightarrow \widehat B = {90^o}:3 = {30^o}$.

$\Rightarrow \widehat C = {90^o} - {30^o} = {60^o}$

Vì $CD$ là phân giác của $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACD} = \widehat {BCD} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.$

$\widehat {ADC}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta BCD$ nên ta có:

$\widehat {ADC} = \widehat B + \widehat {BCD} = {30^o} + {30^o} = {60^o}.$

$\widehat {ADC}$ và $\widehat {BDC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {BDC} = {180^o} - \widehat {ADC} = {180^o} - {60^o} = {120^o}.$