Cho phương trình ${x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m}  = 4x\left( {\sqrt {4x - m}  - 3} \right)$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt?

ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{m}{4}$

Ta có: ${x^3} + \left( {m - 12} \right)\sqrt {4x - m}  = 4x\left( {\sqrt {4x - m}  - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 12x = \left( {4x - m} \right)\sqrt {4x - m}  + 12\sqrt {4x - m}$

$\Leftrightarrow {x^3} + 12x = {\left( {\sqrt {4x - m} } \right)^3} + 12\sqrt {4x - m} (*)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + 12t,\,\,\,f'\left( t \right) = 3{t^2} + 12 > 0,\,\forall t \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Phương trình (*) trở thành 

$f\left( x \right) = f\left( {\sqrt {4x - m} } \right)$

$\Leftrightarrow x = \sqrt {4x - m}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4x - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\m = 4x - {x^2} = g\left( x \right)\end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow 0 \le m < 4 \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$: 4 giá trị thỏa mãn.