Cho phương trình $m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}$ là khoảng $\left( {a; + \infty } \right).$ Khi đó $a$ thuộc khoảng nào dưới đây ?

ĐKXĐ: $x >  - 1$.

Ta có: $m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0 \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right) = x + 2$ (1)

Dễ dàng kiểm tra $x = 0$ không phải nghiệm của phương trình trên.

Với $x \ne 0$, phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}\,\,\left( {x >  - 1,\,\,x \ne 0} \right)$ ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}$

Nhận xét: Trên $\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$, hàm số $y = \ln (x + 1)$ đồng biến, hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}$ nghịch biến

$\Rightarrow g\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = 0$ (2) có tối đa 1 nghiệm trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Mà $g\left( 2 \right) = \ln 3 - \dfrac{4}{3} < 0,\,\,g\left( 4 \right) = \ln 5 - \dfrac{6}{5} > 0 \Rightarrow$ PT (2) có nghiệm duy nhất  ${x_0} \in \left( {2;4} \right)$.

Ta có BBT của $f\left( x \right)$ trên 2 khoảng $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$ như sau:

$\left( {\dfrac{4}{{\ln 3}} \approx 3,64,\,\,\dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73} \right)$

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}$ thì $m > \dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73\,$.