Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\) và các điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(AB = 3\), \(AC = 4\), \(BC = 5\) và khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(1\). Thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) bằng

Tam giác ABC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (Định lí Pytago đảo).

Gọi H là trung điểm của BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra \(HA = HB = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{5}{2}.\)

Mà \(OA = OB = OC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH = 1.\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBH có: \(R = OB = \sqrt {O{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {29} }}{2}.\)

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{29\sqrt {29} }}{6}\pi .\)