Cho mạch điện như hình vẽ:

Biết \(r = 3\Omega \), \({R_1},{R_2}\) là một biến trở. \(U = 12V\)

Điều chỉnh biến trở \({R_2}\) để cho công suất trên nó là lớn nhất, khi đó công suất trên \({R_2}\) bằng 3 lần công suất trên \({R_1}\). Tìm \({R_1}\)?

Ta có: \(rnt\left[ {{R_1}//{R_2}} \right]\)

\({R_{AB}} = \dfrac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\)

\( \Rightarrow \) Điện trở toàn mạch: \(R = r + {R_{AB}} = r + \dfrac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \dfrac{{{R_2}\left( {r + {R_1}} \right) + r{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}\)

+ Dòng điện mạch chính: \(I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{{U\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}}{{{R_2}\left( {r + {R_1}} \right) + r{R_1}}}\)

+ Từ hình vẽ, ta có: \({U_2} = {U_{AB}} = I.{R_{AB}} = \dfrac{{U{R_1}{R_2}}}{{{R_2}\left( {r + {R_1}} \right) + r{R_1}}}\)

+ Công suất trên \({R_2}\): \({P_2} = \dfrac{{U_2^2}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{U^2}R_1^2{R_2}}}{{{{\left[ {{R_2}\left( {r + {R_1}} \right) + r{R_1}} \right]}^2}}} = \dfrac{{{U^2}R_1^2}}{{{{\left[ {\sqrt {{R_2}} \left( {r + {R_1}} \right) + \dfrac{{r{R_1}}}{{\sqrt {{R_2}} }}} \right]}^2}}}\)

Theo BDT Cosi ta có: \(\sqrt {{R_2}} \left( {r + {R_1}} \right) + \dfrac{{r{R_1}}}{{\sqrt {{R_2}} }} \ge 2\sqrt {\left( {r + {R_1}} \right){R_1}} \)

Vậy công suất cực đại trên \({R_2}\) là: \({P_2} = \dfrac{{{U^2}R_1^2}}{{4\left( {r + {R_1}} \right)r{R_1}}} = \dfrac{{{U^2}{R_1}}}{{4\left( {r + {R_1}} \right)r}}\)

Khi \({P_{{2_{max}}}}\) thì \(\sqrt {{R_2}} \left( {r + {R_1}} \right) = \dfrac{{r{R_1}}}{{\sqrt {{R_2}} }} \Rightarrow {R_2} = \dfrac{{r{R_1}}}{{\left( {r + {R_1}} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {R_2} = \dfrac{{3{R_1}}}{{3 + {R_1}}}{\rm{         }}\left( 1 \right)\)

+ Mặt khác, theo đầu bài, ta có: \(\dfrac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{U_{AB}^2}}{{{R_1}}}}}{{\dfrac{{U_{AB}^2}}{{{R_2}}}}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {R_1} = 3{R_2}{\rm{        }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) giải ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{R_1} = 6\Omega \\{R_2} = 2\Omega \end{array} \right.\)