Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết \(\tan \alpha = \dfrac{{k\sqrt 3 }}{3}\). Tìm số nguyên $k$.
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AI \bot BC\) và \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AIA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'I\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\AI \subset \left( {ABC} \right),\,AI \bot BC\\A'I \subset \left( {ABC} \right),\,A'I \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \alpha = \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'BC} \right)} \right) = \angle AIA'\)
Xét tam giác vuông \(AIA'\) ta có: \(\tan \alpha = \dfrac{{AA'}}{{AI}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy $k=2$
Hướng dẫn giải:
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tính chất tam giác đều và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính \(\tan \alpha \).
Câu hỏi khác
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 1 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 2 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 4 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 11 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 5 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
