Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\varphi \) và \(\sin \varphi  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là \(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{k}\)

Tìm $k$.

Đáp án: k=

Bước 1: Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Bước 2: Xác định góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SK \subset \left( {SCD} \right),\,\,SK \bot CD\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = \varphi \).

Bước 3: Chứng minh \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\), dựng \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Vì \(AH//CD \Rightarrow AH//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HI \bot SK\,\,\left( {I \in SK} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SK\\HI \bot CD\,\,\left( {CD \bot \left( {SHK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HI\).

Bước 4: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Xét tam giác vuông \(HIK\) ta có \(\sin \varphi  = \sin \angle SKH = \dfrac{{HI}}{{HK}}\) \( \Rightarrow HI = HK.\sin \varphi  = 2a.\dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy $k=5$.