Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\varphi$ và $\sin \varphi  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là $\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{k}$

Tìm $k$.

Đáp án: k=

Bước 1: Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH \bot AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Bước 2: Xác định góc giữa $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK$.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SK \subset \left( {SCD} \right),\,\,SK \bot CD\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot CD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = \varphi$.

Bước 3: Chứng minh $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)$, dựng $d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)$.

Vì $AH//CD \Rightarrow AH//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)$.

Trong $\left( {SHK} \right)$ kẻ $HI \bot SK\,\,\left( {I \in SK} \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SK\\HI \bot CD\,\,\left( {CD \bot \left( {SHK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SCD} \right)$

$\Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HI$.

Bước 4: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)$.

Xét tam giác vuông $HIK$ ta có $\sin \varphi  = \sin \angle SKH = \dfrac{{HI}}{{HK}}$ $\Rightarrow HI = HK.\sin \varphi  = 2a.\dfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Vậy $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Vậy $k=5$.