Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(1\). Gọi \(A',\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) lần lượt là điểm đối xứng của \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) qua các mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\,\,\left( {ACD} \right),\,\,\left( {ABD} \right),\,\,\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích của khối tứ diện \(A'B'C'D'\).

Bước 1: Tìm tỉ số đồng dạng của tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) 

Dễ dàng nhận thấy tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).

Bước 2: Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\), gọi \(G = AM \cap BN\). Tính \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\) ta có \(AM \bot \left( {BCD} \right),\,\,BN \bot \left( {ACD} \right)\). Gọi \(G = AM \cap BN\).

Ta có \(G\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AA'}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{5}{3}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{5}{3} = k\).

Bước 3: Tính \(\dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3} = \dfrac{{125}}{{27}}\).

Bước 4: Sử dụng công thức thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).

Vậy \({V_{A'B'C'D'}} = \dfrac{{125}}{{37}}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{{324}}\).