Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng đáy.
Do đó \(\alpha = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}\) và \(\beta = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}\).
Hình thoi \(ABCD\) có \(AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC\) đều \( \Rightarrow AD = 2a\)
Tam giác \(AOD\) vuông tại \(O\) nên \(OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OB = a\sqrt 3 \).
Lại có \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\tan \beta = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\), tính \(SO\).
- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) và tính tỉ số lượng giác của góc đó.
