Câu hỏi:
1 năm trước
Cho hình nón có chiều cao bằng \(3a\), biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc \(60^\circ \), thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Xét hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(h = SO = 3a\).
Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\).
Kẻ \(OH \bot AB\) và \(SO \bot AB\) nên \(AB \bot SH\). Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng đáy bằng \(\widehat {SHO} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta OHS\) vuông tại \(O\) có \(OH = SO.\cot \widehat {SHO} = 3a.\cot 60^\circ = a\sqrt 3 \);
\(SH = \sqrt {O{H^2} + S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \)
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên suy ra \(HA = HB = HS = 2a\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(HAO\) vuông tại \(H\), ta có \(OA = \sqrt {O{H^2} + H{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\sqrt {15} \).
Thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = 15\pi {a^3}\).
Hướng dẫn giải:
- Kẻ \(OH \bot AB\) và \(SO \bot AB\). Xác định góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng đáy
- Tính OH
- Tính OA
Câu hỏi khác
- Đề thi thử THPTQG môn Toán Chuyên ĐH Vinh Nghệ An lần 3 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 1 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề tập huấn thi THPTQG Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bắc Ninh 2019 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 4 Toán 12 có lời giải chi tiết
