Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(M,\,N,\,P\) theo thứ tự đó thuộc các cạnh \(BB',\)\(C'D',\,\,DA\) sao cho \(BM = C'N = DP = \dfrac{a}{3}\). Tìm diện tích thiết diện \(S\) của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng \((MNP)\).

Ta có $\dfrac{{BM}}{{C'N}} = \dfrac{{MB'}}{{ND'}} = \dfrac{{BB'}}{{C'D'}} = 1$, do đó theo định lý ta-let trong không gian thì  $BC'$, $MN$, $B'D'$ lần lượt cùng song song (hoặc nằm trong) với một mặt phẳng.

Mà $B'D'{\rm{//}}\left( {BC'D} \right)$ và $BC' \subset \left( {BC'D} \right)$ nên ta có $MN{\rm{//}}\left( {BC'D} \right)$.

Chứng minh tương tự ta có $NP{\rm{//}}\left( {BC'D} \right)$. Do đó $\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {BC'D} \right)$.

Qua $P$, kẻ $PQ{\rm{//}}BD,Q \in AB$. Qua  $N$, kẻ $NF{\rm{//C'}}D,F \in D'D$.

Qua $M$, kẻ $ME{\rm{//BC'}},E \in B'C'$.

Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với hình lập phương là lục giác $MENFPQ$.

Dễ thấy $EN = PF = MQ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$, $NF = PQ = ME = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}$ và tam giác  $BC'D$ là tam giác đều vì $BC' = BD = DC' = a\sqrt 2 $.

Do đó $\widehat {ENF} = \widehat {NFP} = \widehat {FPQ} = \widehat {PQM} = \widehat {QME} = \widehat {MEN} = 120^\circ $

Kẻ các đường cao \(EH,PK\) của các hình thang cân \(MENF,MQPF\) ta có:

\(EH = ME\sin {60^0} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}PK = FP\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\\MH = ME\cos {60^0} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow MF = 2MH + EN = 2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} = a\sqrt 2 \end{array}\)

Diện tích hình thang \(MENF\) là:

\({S_1} = \dfrac{1}{2}\left( {EN + MF} \right).EH = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)

Diện tích hình thang \(MQPF\) là:

\({S_2} = \dfrac{1}{2}\left( {QP + MF} \right).PK = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Vậy \({S_{MENFPQ}} = {S_1} + {S_2} = \dfrac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9} + \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}} = \dfrac{{13{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)