Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\). Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SC\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để \((P)\) cắt \(SC\) tại điểm \({C_1}\) nằm giữa \(S\) và \(C\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Do S.ABC là hình chóp đều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi C’ là trung điểm AB. Suy ra C, C’, G thẳng hàng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CC'\\SG \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCC'} \right) \Rightarrow AB \bot SC$. (1)
Trong tam giác SAC, kẻ $A{C_1} \bot SC$. (2)
Từ (1) và (2), suy ra $SC \bot \left( {AB{C_1}} \right)$.
Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $AB{C_1}$ thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC.
Tam giác SAC cân tại S nên để ${C_1}$ nằm giữa S và C khi và chỉ khi $\widehat {ASC} < {90^0}$.
Suy ra $\cos \widehat {ASC} > 0 \Leftrightarrow S{A^2} + S{C^2} - A{C^2} > 0 \Leftrightarrow 2{b^2} - {a^2} > 0 \Rightarrow a < b\sqrt 2 .$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
