Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$; góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách \(d\) từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SMC} \right)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\({60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right)} \)
\(= \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA};\)
\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\sqrt 3 = a\sqrt 3 .\)
Do $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ nên \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right)\).
Trong $(SAB)$ kẻ \(AK \bot SM\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CM \bot AK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMC} \right)} \right) = AK.\)
Tam giác vuông \(SAM\), có \(AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SMC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
