Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua trung điểm $E$ của $SC$ và vuông góc với $AB$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi F là trung điểm AC, suy ra EF // SA.
Do $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ nên $EF \bot AB$. \(\left( 1 \right)\)
Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.
Suy ra $CJ \bot AB$ và $FG\parallel CJ$ nên $FG \bot AB$. \(\left( 2 \right)\)
Trong $\Delta \,SAB$ kẻ $GH\parallel SA$ $\left( {H \in SB} \right)$, suy ra $GH \bot AB$. \(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) , \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\), suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH, vuông tại G và F.
Do đó ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right).FG$.
Ta có $EF = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}$; $FG = \dfrac{1}{2}CJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$; $\dfrac{{GH}}{{SA}} = \dfrac{{BG}}{{BA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow GH = BG = \dfrac{{3a}}{4}.$
Vậy ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + \dfrac{{3a}}{4}} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
