Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - y = a + 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\end{array}\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\left( 2 \right)}\end{array}}&{}\end{array}\end{array} \right.$

($a$ là tham số)

Với $a \ne 0$ hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$. Tìm các số nguyên $a$ để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Từ PT $\left( 1 \right)$ ta có: $y = \left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)$ (*) thế vào PT $\left( 2 \right)$ ta được: $x + \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {a + 1} \right)x - \left( {a + 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x + \left( {{a^2} - 1} \right)x - \left( {{a^2} - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {a^2}x = {a^2} + 1 \,\,\,\,  (3)$

Với $a \ne 0$, phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}$. Thay vào $\left( * \right)$ ta có:

$y = \left( {a + 1} \right)\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \left( {a + 1} \right) = \dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - {a^2}\left( {a + 1} \right)}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^3} + a + {a^2} + 1 - {a^3} - {a^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}};\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}} \right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \mathbb{Z}}\\{y \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\\{\dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)}\end{array}$

Điều kiện cần: $x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z} $ mà  $a^2 > 0$ 

\( \Rightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1\) (TM \(a \ne 0\))

Điều kiện đủ:

$a =  - 1 \Rightarrow y = 0 \in \mathbb{Z}$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in \mathbb{Z}$ (nhận)

Vậy $a =  \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.