Câu hỏi:
2 năm trước

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2 - a\\x + 2y = a + 1\end{array} \right.$. Giá trị thích hợp của tham số $a$ để tổng bình phương  nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right| = 5 \ne 0$

$\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - a}&{ - 1}\\{a + 1}&2\end{array}} \right| = 4 - 2{\rm{a}} + a + 1 = 5 - a\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{2 - a}\\1&{a + 1}\end{array}} \right| = 2{\rm{a}} + 2 - 2 + a = 3{\rm{a}}\end{array}$

Vì $D ≠ 0$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{5 - a}}{5};y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{3{\rm{a}}}}{5}$

Khi đó: ${x^2} + {y^2} = {\left( {\dfrac{{5 - a}}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{3{\rm{a}}}}{5}} \right)^2} = \dfrac{{25 - 10{\rm{a}} + 10{{\rm{a}}^2}}}{{25}} = \dfrac{{10}}{{25}}\left( {{a^2} - a} \right) + 1 = \dfrac{2}{5}{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{9}{{10}} \ge \dfrac{9}{{10}}$

Dấu “ = ’’ xảy ra $\Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

+ Tính các định thức: $D, D_x, D_y$

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $D ≠ 0$, khi đó $x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}$

+ Tính giá trị nhỏ nhất của $x^2 + y^2$

Câu hỏi khác