Cho hàm số $y = f\left( x \right).$ Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Biết $f\left( { - 1} \right) = 1,$$f\left( { - \dfrac{1}{e}} \right) = 2.$ Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình $f\left( x \right) < \ln \left( { - x} \right) + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right).$

ĐKXĐ: $- x > 0 \Leftrightarrow x < 0$.

Ta có: $f\left( x \right) < \ln \left( { - x} \right) + m \Leftrightarrow m > f\left( x \right) - \ln \left( { - x} \right)$ (*)

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \ln \left( { - x} \right)$ trên khoảng $\left( { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right)$ có:

$\,g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{{ - 1}}{{ - x}} = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{x}$

Ta biểu diễn đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ (nét màu đỏ) trên hình vẽ như sau:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy

$\,g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{x} > 0,\,\,\forall x \in$$\left( { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right) \Rightarrow$ Hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - \ln \left( 1 \right) = 1\\g\left( { - \dfrac{1}{e}} \right) = f\left( { - \dfrac{1}{e}} \right) - \ln \dfrac{1}{e} = 2 + 1 = 3\end{array} \right.$ .

Để (*) nghiệm đúng với mọi $x \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right)$ thì $\Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1; - \dfrac{1}{e}} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge 3.$