Cho hàm số \(f(x)\) liên tục và nhận giá trị dương trên $[0 ; 1]$. Biết \(f(x).f(1 - x) = 1\) với mọi $x \in[0 ; 1]$. Tính giá trị \(I = \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + f(x)}}} \).

Bước 1: \(1 + f(x) = f(x)f(1 - x) + f(x)\)

Ta có \(1 + f(x) = f(x)f(1 - x) + f(x)\)\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{f\left( {1 - x} \right) + 1}}\)

Bước 2: Xét tích phân \(I = \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + f(x)}}} \)

Xét \(I = \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + f(x)}}} \). Đặt \(t = 1 - x \Leftrightarrow x = 1 - t \Rightarrow dx =  - dt\).

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = 0\).

Khi đó, \(I =  - \int_1^0 {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{{1 + f(1 - t)}}}  = \int_0^1 {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{{1 + f(1 - t)}}}  = \)\( = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + f\left( {1 - x} \right)}}}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)

Mặt khác, \(\int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + f(x)}}}  + \int_0^1 {\dfrac{{f(x)dx}}{{1 + f(x)}}} \)\( = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 + f\left( x \right)}}dx = \int\limits_0^1 {dx}  = 1} \) hay \(2I = 1\).

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\).