Cho hàm số \(f(x) = {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\) . Xét các khẳng định sau:
Khẳng định 1: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\)
Khẳng định 2: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Khẳng định 3: \(f(x) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\)
Khẳng định 4:\(f(x) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - {x^2}}} + 7\)
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Cơ số $3 - \sqrt 2 > 1$
Ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0$ suy ra khẳng định 1 đúng.
Ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} > - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0 $
$\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > - 1 \hfill \\
x \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ suy ra khẳng định 2 sai.
Ta có
$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{{x^3}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{{{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^{ - {x^2}}}}}{{3 - \sqrt 2 }} < 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2} - 1}} \\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{1}{{3 - \sqrt 2 }}} \right)^{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\end{array}$
suy ra khẳng định 3 đúng.
Ta có
$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}} < 3 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3}}}\left( {3 - \sqrt 2 } \right) - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\left( {3 - \sqrt 2 } \right) < \left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{{x^3} + 1}} < {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{1 - {x^2}}} + 7\end{array}$
Suy ra khẳng định 4 đúng.
Vậy có $3$ khẳng định đúng.
Hướng dẫn giải:
Chú ý đối với bất phương trình mũ ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}}$
Với $a >1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)$
Với $0<a<1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$