Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{3 + {2^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {2^{ - x}}}}\). Trong các khẳng định, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) \(f'\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R\)
2) \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) = 2017\)
3) \(f\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{{3 + {4^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^x}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^{ - x}}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\) nên khẳng định (1) sai.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{\left( {3 + {2^x}} \right)\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}} = \dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}}\)
Đặt \(t = {2^x} + {2^{ - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}} = 2\) thì \(\dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{3^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}} = \dfrac{{t + 6}}{{3t + 10}}\)
Xét \(g\left( t \right) = \dfrac{{t + 6}}{{3t + 10}},g'\left( t \right) = - \dfrac{8}{{{{\left( {3t + 10} \right)}^2}}} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow g\left( t \right) \le g\left( 2 \right) = \dfrac{{2 + 6}}{{3.2 + 10}} = \dfrac{1}{2} < 1\) hay \(f\left( x \right) < 1,\forall x\).
Suy ra \(f\left( 1 \right) < 1,f\left( 2 \right) < 1,...,f\left( {2017} \right) < 1\).
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) < 2017\) nên (2) sai.
\(f\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{{3 + {2^{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{3 + {2^{ - {x^2}}}}} \ne \dfrac{1}{{3 + {4^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\) (chẳng hạn \(x = 1\)) nên (3) sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng.
Hướng dẫn giải:
Xét tính đúng, sai các mệnh đề và đối chiếu đáp án:
- Tính \(f'\left( x \right)\) và xét \(f'\left( x \right) = 0\).
- Đánh giá tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right)\) rồi so sánh với \(2017\).
- Tính \(f\left( {{x^2}} \right)\) rồi so sánh với vế phải của mệnh đề 3).
